Knightsとお勉強。 (ページ5)

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【数ⅠA】ガウス記号ページ5

司「先輩方…ガウス記号とは何でしょうか…？」
あ「あー、ガウス記号あったねぇ…で何だっけ？」
嵐「確か整数の何かじゃなかったかしら…？ねぇ王さま」
レ「ガウス記号とか初めて聞いた！なんだそれ！」

凛「…こりゃどうしようもないねぇ、セッちゃん」
泉「もういい加減にしてよ、チョ～うざぁい！」

泉「…はぁ、ガウス記号は、[x]って書いて、実数xを越えない最大の整数を表すの。
だから、整数nに対してn≦x＜n+1のとき、 [x]=n になる」
凛「例えば[3.6]=3とかね」

レ「面白いな！」
司「小数点以下は切り捨てるということですね」

泉「じゃ、かさくん問題見せて。

実数xに対して、等式[x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x]が成り立つことを示せ

…か。こういうときはまず、xの整数部分をn、小数部分をα(0≦α＜1)っておくの。そうすると、 x=n+α って表せるでしょお？」

あ「そうやればいいんだ！」
嵐「実数xを整数部分のnと小数部分のαに分けて表すのね！」

泉「そう。…で、ここで場合分けをする。
a) 0≦α＜1/3 のとき、b) 1/3≦α＜2/3 のとき、c) 2/3≦α＜1 のときの3パターンに分ける。

まず1つ目。a)のパターンね。与式の左辺について、

　[x]+[x+1/3]+[x+2/3]
=[n+α]+[n+α+1/3]+[n+α+2/3]
=n+n+n
=3n

右辺について、

　[3(n+α)]=[3n+3α]=3n

したがって与式は成立する。…こんな感じかな」

司「なるほど、左辺と右辺をそれぞれ計算して等しくなることを示すのですね！」

泉「そういうこと。あとはbもcも同じだから」
凛「場合分けは左辺にある数字で区切るといいよ～」

泉「確かにガウス記号は複雑で難しいところだし、ちゃんと復習しとくんだよぉ？2度も教えないからねぇ」