Knightsとお勉強。 (ページ8)

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【数ⅠA】集合と論理ページ8

あ「何とかが無理数である、って証明するときには背理法を使うといいんだよね♪」

嵐「そうね。それと無理数を既約分数でおくだけじゃなくて1文字で表すタイプも覚えとかないといけないわァ」

凛「これはコツだけどさ、反例示すときに、無理数を整数+無理数で表すのもいいよ～。例えば無理数x=1+√2にするとか♪」

泉「じゃあ典型的な無理数証明問題やるよぉ。ちゃあんと聞いて覚えてよねぇ？

『√7は無理数である』が真の命題であることを背理法によって証明する。

√7が有理数であると仮定すると、

　√7=n/m …① (n/mは既約分数)

①より、

　√7m=n
　7m^2=n^2 …②

n^2が7の倍数なので、nも7の倍数である。
n=7k(kは自然数)とおくと、②に代入して

　7m^2=49k^2
　m^2=7k^2

m^2が7の倍数なので、mも7の倍数である。
これはn/mが既約分数であることに矛盾する。

以上より、√7は無理数である」

レ「背理法を使って、既約分数で表して、2乗して、倍数の話にして、既約分数が矛盾になるって言えばいいんだな！」
泉「まぁそうだけど……」

あ「対偶で証明するのもあったよね？」
凛「あー、対偶を使うのは『逆なら証明しやすいのになぁ』って時だよ～」

司「……あの、先輩方」
嵐「どうしたの、司ちゃん」
司「背理法を使うtimingがわかりません！」

泉「それはねぇ、パターン数が少ない方を考えればいいの」
司「パターン数、ですか？」

泉「そう。そのまま証明すると色んなパターンを示さなきゃいけない時に背理法を使えば、1パターンだけ証明すればいいよねぇ？」

司「そうですね！」
あ「確かに！」

凛「具体的な問題なら、

　『a，b，cが、 a^2-3b^2=c^2 を満たす整数であるとするとき、a，bの少なくとも一方は偶数である』

っていうのがあるね。これはどっちで解くと思う？」

嵐「んー、そのまま解くなら色んなパターンを示さなきゃいけないわね……」
司「あっでも背理法なら『どっちも奇数』の1パターンで終わります！」

凛「そうそう、そういうこと～♪じゃあ次、

　『a，b，cが、 a^2-3b^2=c^2 を満たす整数であるとするとき、a，bが共に偶数なら、少なくとも一方は4の倍数である』

これはどうかな～？」

レ「さっきと同じで背理法じゃないか？」
あ「いや、そのまま解けば『a，bが共に偶数』の1パターンで終わる！」

凛「正解…よくできました♪」
泉「こういう風に考えてから決めればいいんじゃない？」
司「そうですね、ありがとうございました！」